БЫСТРЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ С ВОЗМОЖНОСТЬЮ ИХ МНОГОКРАТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ - Чернышов, Александр Данилович; Горяйнов, Виталий Валерьевич; Попов, Михаил Иванович (Вестник ВГУ. Серия: Системный анализ и информационные технологии, 2025)
Доказаны теоремы о невозможности почленного дифференцирования клас сических рядов Фурье для разрывных функций, так как это действие приводит к расходя щимся рядам и о невозможности дифференцирования рядов Фурье в предельном случае при задании несогласованных граничных условий. Показана возможность применения метода быстрых разложений в сочетании с методом А. Н. Крылова при рассмотрении разрывных функций. Впервые рассматривается многократное дифференцирование бы стрых рядов Фурье разрывных функций. Для полученной непрерывной функции ряд Фурье функции быстро сходится на заданном отрезке, включая и его концевые точки, что является особенно ценным при рассмотрении инженерных задач. Предложенное бы строе разложение применимо к построению решения прикладных интегро-дифференци альных задач различного порядка с разрывами первого рода и более сложными разры вами. Дается постановка краевой интегро-дифференциальной задачи второго порядка, в которой определенный интеграл записан с переменным верхним пределом от неизвест ной функции. Решение этой задачи представляет разрывную функцию с быстро сходя щимся рядом Фурье и возможностью его дифференцирования заранее заданное число раз. Приведенный тестовый пример показал, что при использовании граничной функции четвертого порядка и даже одного члена ряда Фурье в быстром разложении максималь ная абсолютная погрешность в определении неизвестной функции не превышает 2.4·10–20. Решение подобных задач в аналитическом виде ранее не было известно.