Применение импульсных нейронных сетей в решении задачи факторизации Винера - Хопфа

Аннотация

Работа посвящена изучению возможностей применения искусственных импульсных (или спайковых) нейронных сетей для решения задачи приближенной факторизации Винера — Хопфа для процессов Леви в рамках интеллектуальной системы машинного обучения. Одним из приложений факторизации Винера — Хопфа является вычисление цен барьерных опционов, в связи с чем рассматриваемая задача имеет важный прикладной аспект для вычислительной финансовой математики в части создания гибридных численных методов, комбинирующих современные технологии нейросетей третьего поколения и классические методы вычислительной математики. В рамках статьи предложена импульсная нейронная сеть с моделью «интегрировать-и-сработать» с утечками для факторизации тригонометрического полинома в комплексной форме, коэффициенты которого представляют собой распределение вероятностей. Искомые многочлены-факторы имеют аналогичную вероятностную интерпретацию, при этом у первого фактора первая половина коэффициентов равна нулю, а у второго — вторая половина. Вероятностная интерпретация задачи позволяет обойтись без кодирования и декодирования входных и выходных данных в спайки и обратно. Обучение сети проводится для одного набора коэффициентов полинома с целью минимизировать ошибку приближения этого полинома произведением факторов, коэффициенты которых предсказываются сетью, для чего программно реализована собственная функция потерь. В отличие от традиционного подхода к подбору параметров модели на обучающей выборке, в данной работе предлагается минимизировать ошибку приближения конкретной характеристической функции процесса Леви произведением многочленов-факторов. При этом модель не использует фактические значения коэффициентов факторов при обучении, а только значения многочленов, вычисленные с помощью быстрого преобразования Фурье. В рамках вычислительных экспериментов представлен пример факторизации полинома 255-й степени, связанного с гауссовым процессом Леви, с помощью спайковой нейросети. Программная реализация предлагаемого в статье подхода к решению задачи факторизации написана на языке программирования Python с использованием фреймворка машинного обучения pyTorch и библиотеки snnTorch импульсных нейронных сетей.