APPLICATION OF ALGEBRAIC INVARIANTS FOR MODELING FACIAL EXPRESSIONS
DOI:
https://doi.org/10.17308/sait/1995-5499/2025/3/51-62Keywords:
facial expression, image transformation, mathematical models, invariant, homogene ous hypersurface, Lie algebra, algebra orbitAbstract
The article is devoted to the mathematical description of facial model transformations based on the hypothesis of multidimensional «internal» facial invariants. It is proposed to consider the orbits of 5-dimensional and 7-dimensional Lie algebras in complex spaces of dimensions 3 and 4 as such invariants. The paper provides reasoning that supports the naturalness of this approach, related to the problem of describing homogeneous orbits of multidimensional Lie algebras: these orbits, like human faces, possess rich families of transformations. The included examples of modeling facial expressions for a planar face are based on the orbit of a 5-dimensional non-solvable indecomposable Lie algebra. The proposed approach can be used, for instance, in data augmentation for machine learning. The article also presents results of modeling performed on photographs.
References
McLaughlin T. Character rigging, deformations, and simulations in film and game production / T. McLaughlin, L. Cutler, D. Coleman // ACM SIGGRAPH 2011 Courses. – 2011. – № 5. – P. 1–18.
Liu C. An analysis of the current and future state of 3D facial animation techniques and systems / C. Liu. – School of Interactive Arts & Technology-Simon Fraser University, 2009. – 286 p.
Акимов А. В. Модели и алгоритмы искусственного размножения данных для обучения алгоритмов распознавания лиц методом Виолы — Джонса / А. В. Акимов, А. А. Сирота // Компьютерная оптика. – 2016. – Т. 40, В. 6. – С. 911–918. https://doi.org/10.18287/2412-61792016-40-6-899-906
Сирота А. А. Деформирующие преобразования изображений и их применение при аугментации данных для обучения глубоких нейронных сетей / А. А. Сирота, А. В. Акимов, Р. Р. Отырба // Информатика и автоматизация. – 2024. – Т. 23, № 2. – С. 407–435. https:// doi.org/10.15622/ia.23.2.4
Yang X. LARNet: Lie Algebra Residual Network for Face Recognition. – Режим доступа: https://arxiv.org/abs/2103.08147
Xu Q. Applications of Lie Groups and Lie Algebra to Computer Vision: A Brief Survey / Q. Xu, D. Ma // Proceedings of the 2012 International Conference on Systems and Informatics. – 2012. – P. 1271–1276. https://doi.org/10.1109/ ICSAI.2012.6223449
Крутских В. В. Моделирование лицевой мимики с помощью алгебраических инвариантов // Матер. XXV междунар. научно-технической конф. ИПМТ. – Воронеж. – 2025. – С. 281–287.
Bishop C. M. Neural Networks For Pattern Recognition / C. M. Bishop. – Oxford University Press, 2013. – 482 p.
Дубровин Б. А. Современная геометрия. Геометрия поверхностей, группы преобразований и поля / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко – 5-е изд., испр. – М.: Эдиториал УРСС, Добросвет, 2001. – 334 с.
Hirose A. Complex-Valued Neural Networks. Advances and Applications / A. Hirose. – IEEE Press, 2013. – 310 p.
Лобода А. В. Об орбитах одной неразрешимой 5-мерной алгебры Ли / А. В. Лобода, А. В. Атанов // Математическая физика и компьютерное моделирование. – 2019. – Т. 22, № 2. – С. 5–20. https://doi.org/10.15688/mpcm. jvolsu.2019.2.1
Лобода А. В. Голоморфно однородные вещественные гиперповерхности в 3 / А. В. Лобода // Труды ММО. – 2020. – Т. 81, В. 2. – С. 205–280. https://doi.org/10.1090/mosc/309
Loboda A. V. On the Orbits of Nilpotent 7-dimensional Lie Algebras in 4-dimensional Complex Space / A. V. Loboda, R. S. Akopyan, V. V. Krutskikh // J. Sib. Fed. Math. Phys. – 2020. – 13(3). – P. 360–372. https://doi. org/10.17516/1997-1397-2020-13-3-360-372
Крутских В. В. О голоморфных реализациях 7-мерных алгебр Ли
Мубаракзянов Г. М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка / Г. М. Мубаракзянов // Изв. вузов. Матем. – 1963. – №3. – С. 99-106.
Атанов А. В. Об орбитах действий 5-мерных неразрешимых алгебр Ли / А. В. Атанов, И. Г. Коссовский, А. В. Лобода // Доклады академии наук. – 2019. – Т. 487, № 6. – С. 607–610. https://doi.org/10.31857/ S0869-56524876607-610
Gong M. P. Classification of Nilpotent Lie Algebras of Dimension 7 (Over Algebrai-cally Closed Fields and R) // University of Waterloo, 1998. – 165 p.
Parry A. R. A classification of real indecomposable solvable Lie algebras of small dimension with codimension one nilradicals / Logan, Utah. – Utah State University. – 2007. – 225 p. https://doi.org/10.48550/arXiv.1311.6069
Le Vu A. Classification of 7-dimensional solvable Lie algebras having 5-dimensional nilradicals / Vu A. Le, Tuan A. Nguyen, Tu T. C. Nguyen, Tuyen T. M. Nguyen, Thieu N. Vo // Cornell University. – 2021. – 24 p. https://doi. org/10.48550/arXiv.2107.03990
Hindeleh F. Seven dimensional Lie algebras with a four-dimensional nilradical / F. Hindeleh, G. Thompson // Algebras Groups Geom. – 2008. – 25(3). – P. 243–265.
Крутских В. В. Применение системного анализа и компьютерных алгоритмов при изучении орбит 7-мерных алгебр Ли / В. В. Крутских, А. В. Лобода // Математическая физика и компьютерное моделирование. – 2024. – Т. 27, № 3. – С. 38–59. https://doi. org/10.15688/mpcm.jvolsu.2024.3.4
Dubrov B. Homogeneous Levi non-degenerate hypersurfaces in 3 / B. Dubrov, A. Medvedev, D. The // Mathematische Zeitschrift. – 2020. – V. 297. – P. 669–709. https:// doi.org/10.1007/s00209-020-02528-2
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть 2: Функции нескольких переменных / Б. В. Шабат – М. : Ленад, 2022. – 472 с.
Атанов А. В. Алгебры Ли со «слабыми» коммутативными свойствами и задача об однородности / А. В. Атанов, А. В. Лобода // Труды ММО. – 2024. – Т. 85, В.1. – С. 1–28.
Лобода А. В. О вырожденности орбит нильпотентных алгебр / А. В. Лобода, В. К. Каверина // Уфимский матем. журнал. – 2022. – № 1. – С. 57–83. https://doi.org/10.13108/202214-1-52
Downloads
Published
Issue
Section
License
Условия передачи авторских прав in English
