БЫСТРЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ  С ВОЗМОЖНОСТЬЮ ИХ МНОГОКРАТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Александр Данилович Чернышов; Виталий Валерьевич Горяйнов; Михаил Иванович Попов

doi:10.17308/sait/1995-5499/2025/4/5-19

Authors

Alexander D. Chernyshov Voronezh State University of Engineering Technologies https://orcid.org/0009-0000-5580-4194 (unauthenticated)
Vitaly V. Goryainov Voronezh State Technical University https://orcid.org/0000-0001-7702-8771 (unauthenticated)
Mikhail I. Popov Voronezh State University https://orcid.org/0000-0001-8595-1267 (unauthenticated)

DOI:

https://doi.org/10.17308/sait/1995-5499/2025/4/5-19

Keywords:

fast expansion method, A. N. Krylov’s method, discontinuous functions, discontinuity of the first kind, continuous function, boundary function, high accuracy

Abstract

The theorems are proved on the impossibility of term-by-term differentiation of classical Fourier series for discontinuous functions, since this action leads to divergent series, and on the impossibility of differentiating Fourier series in the limiting case when specifying inconsistent boundary conditions. The possibility of applying the method of fast expansions in combination with the method of A. N. Krylov when considering discontinuous functions is shown. Multiple differentiation of fast Fourier series of discontinuous functions is considered for the first time. For the obtained continuous function, the Fourier series of the function quickly converges on the specified segment, including its endpoints, which is especially valuable when considering engineering problems. The proposed fast expansion is applicable to constructing solutions to applied integro-differential problems of various orders with discontinuities of the first kind and more complex discontinuities. A statement of a boundary integro-differential problem of the second order is given, in which the definite integral is written with a variable upper limit of the unknown function. The solution to this problem is a discontinuous function with a rapidly converging Fourier series and the ability to differentiate it a predetermined number of times. T he given test example showed that when using a fourth-order boundary function and even one member of the Fourier series in a fast expansion, the maximum absolute error in determining the unknown function does not exceed 2.4·10–20. The solution to such problems in analytical form was previously unknown.

Author Biographies

Alexander D. Chernyshov, Voronezh State University of Engineering Technologies

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor, Department of Higher Mathematics
Vitaly V. Goryainov, Voronezh State Technical University

Ph.D. in Phys. & Math., Assoc. Professor, Department of Applied Mathematics and Mechanics
Mikhail I. Popov, Voronezh State University

Ph.D. in Phys. & Math., Assoc. Professor, Department of Digital Technologies

References

Adcock B. Convergence Acceleration of Modified Fourier Series in One or More Dimensions / B. Adcock // Mathematics of Computation. – 2010. – 80. – P. 225–261. https://doi.org/10.1090/s0025-5718-2010-02393-2

Adcock B. A Stability Barrier for Reconstructions from Fourier Samples / B. Adcock, A. C. Hansen, A. Shadrin // SIAM Journal on Numerical Analysis. – 2014. – 52. – P. 125–139. https://doi.org/10.1137/130908221

Adcock B. Generalized Sampling and the Stable and Accurate Reconstruction of Piecewise Analytic Functions from Their Fourier Coefficients / B. Adcock, A. Hansen // Mathematics of Computation. – 2014. – 84. – P. 237–270. https://doi.org/10.1090/s0025-5718-2014-02860-3

Иншаков Ю. М. Исследование явления Гиббса для разрывных периодических сигналов / Ю. М. Иншаков// Известия вузов России. Радиоэлектроника. – 2012. – Вып. 4. – C. 17–23.

Gottlieb D. On the Gibbs Phenomenon V: Recovering exponential accuracy from collocation point values of a piecewise analytic function / D. Gottlieb, C.W. Shu // Numer. Math. – 1996. – Vol. 33. – P. 280–290.

Лиференко В. Оптимальные множители сходимости, обеспечивающие подавление эффекта Гиббса. Часть 1 / В. Лиференко, Ю. Сердюков // Компоненты и технологии. – 2009. – № 1. – C. 90–94.

Харди Г. Расходящиеся ряды / Г. Харди. – М. : Изд-во иностр. л-ры, 1951. – 504 с. 8. Собрание трудов академика А. Н. Крылов. Т. 3. Математика. Часть 1. – М., Л. : Изд-во академии наук СССР, 1949. – 501 с.

Lanczos C. Discourse on Fourier series / C. Lanczos. – Edinburgh–London: Oliver and Boyd, 1966. – 255 p.

Yun B. I. Improving Fourier Partial Sum Approximation for Discontinuous Functions Using a Weight Function / B.I. Yun // Abstract and Applied Analysis. – 2017. – Article 1364914. https://doi.org/10.1155/2017/1364914

Barkhudaryan A. Asymptotic Behavior of Eckhoff’s Method for Fourier Series Convergence Acceleration / A. Barkhudaryan, R. Barkhudaryan, A. Poghosyan //Analysis in Theory and Applications. – 2007. – 23. – pp. 228-242. https://doi.org/10.1007/s10496-007-0228-0

Nersesyan A. B. Quasi-Polynomials of Bernoulli Type and Acceleration of Convergence of Fourier Series Piecewise Smooth Functions / A. B. Nersesyan // Reports of NAS RA. – 2004. – 104. – P. 186–191.

Poghosyan A. On an Autocorrection Phenomenon of the Krylov-Gottlieb-Eckhoff Method / A. Poghosyan // IMA Journal of Numerical Analysis. – 2010. DOI: 10.1093/imanum/drp043

Nersessian A. Acceleration of Convergence of Fourier Series Using the Phenomenon of Over-Convergence / A. Nersessian // Armenian Journal of Mathematics. – 2022. – V. 14, No 14. – P. 1–31.

Nersessian A. Super-Fast Approximation Algorithms Using Classical Fourier Tools / A. Nersessian // Advances in Pure Mathematics. – 2024. – 14. – P. 596-618. https://doi.org/10.4236/apm.2024.147033

Нерсесян А. Ускоренная сходимость рядов Фурье / А. Нерсесян, А. Погосян, Р. Бархударян // Известия НАН Армении. Математика. – 2006. – Т. 41, № 2. – С. 43–56.

Adcock B. Univariate modified Fourier series and application to boundary value problems / B. Adcock // BIT Numerical Mathematics. – 2009. – 49. – P. 249–280.

Nersessian A. On an Over-Convergence Phenomenon for Fourier Series. Basic Approach / A. Nersessian //Armenian Journal of Mathematics. – 2022. – 10. – P. 1–22. https://doi.org/10.52737/18291163-2018.10.9-1-22

Nersessian A. A Correction to the Article “On an Over-Convergence Phenomenon for Fourier Series. Basic Approach” / A. Nersessian // Armenian Journal of Mathematics. – 2022. – 11. – P. 1–2. https://doi.org/10.52737/182911632019.11.2-1-2

Nersessian A. Fourier Tools Are Much More Powerful than Commonly Thought / A. Nersessian // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2019. – 40. – P. 1122–1131. https://doi.org/10.1134/s1995080219080195

Nersessian A. On Some Fast Implementations of Fourier Interpolation / A. Nersessian // Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. – 2021. – P. 463–477. https://doi.org/10.1007/978-3-030-77493-6_27

Nersessian A. Acceleration of Convergence of Fourier Series Using the Phenomenon of Over-Convergence. / A. Nersessian // Armenian Journal of Mathematics. – 2022. – 14. – P. 1–31. https://doi.org/10.52737/18291163-2022.14.141-31

Nersessian A. On the Phenomenon of Super-Convergence in Eigenfunctions Expansions / A. Nersessian // Reports of NAS RA. – 2022. – 122. – P. 255–264. https://doi.org/10.54503/03211339-2022.122.4-255

Чернышов А. Д. Метод быстрых разложений для решения нелинейных дифференциальных уравнений / А. Д. Чернышов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2014. – Т. 54, № 1. – С. 13–24. DOI: 10.7868/S0044466914010062

Чернышов А. Д. Решение нелинейного уравнения теплопроводности для криволинейной области с условиями Дирихле методом быстрых разложений / А. Д. Чернышов // Инженерно-физический журнал. – 2018. – Т. 91, № 2. – С. 456−468.

Чернышов А. Д. Решение двухфазной задачи Стефана с внутренним источником и задач теплопроводности методом быстрых разложений / А. Д. Чернышов // Инженерно-физический журнал. – 2021. – Т. 94, № 1. – С. 101–120.

Сравнение скорости сходимости быстрых разложений с разложениями в классический ряд Фурье / А. Д. Чернышов [и др.] // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. – 2019. – № 1. – С. 27–34. DOI:: https://doi.org/10.17308/sait.2019.1/1273.

Лешонков О. В. Метод быстрых разложений для вычисления определенных интегралов с переменным верхним пределом от сложных или неявно заданных функций / О. В. Лешонков, Е. А. Соболева, А. Д. Чернышов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2021. – Т. 61, № 6. – С. 926–935 DOI: 10.31857/S0044466921060065

Горяйнов В. В. Анализ погрешности быстрых рядов Фурье при их многократном дифференцировании для случая вычисления коэффициентов ряда поточечным методом / В. В. Горяйнов // Вестник Воронежского государственного технического университета. – 2011. – Т. 7, № 2. – С. 36–40.

Чернышов А. Д. Исследование погрешности быстрой тригонометрической интерполяции при решении задачи о напряжениях в брусе / А. Д. Чернышов, В. В. Горяйнов, М. И. Попов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. – 2023. – № 1. – С. 115–128. DOI: 10.31857/S0572329922100142

Бурлуцкая М. Ш. Классическое решение для смешанной задачи с инволюцией / М. Ш. Бурлуцкая, А. П. Хромов // Докл. РАН. – 2010. – Т. 435, № 2. – С. 151–154.