Численный метод нахождения математического ожидания решения уравнения модели деструкции полимеров, учитывающего влияние случайных факторов

Аннотация

Статья посвящена разработке и анализу математической модели процесса деструкции полимера под действием сдвиговых напряжений и температуры. Модель процесса является обыкновенным дифференциальным уравнением Риккати, содержащей случайный процесс, и включает элементарные реакции, протекающие в полимерной матрице: разрушение и рекомбинация макромолекул. Уравнение не может быть записано в виде с помощью интегралов Ито или Стратоновича. Предполагается, что случайный коэффициент задается характеристическим функционалом. Ставится задача нахождения математического ожидания решения рассматриваемой модели. Поскольку задача не может быть решена точными аналитическими методами, то разработан численный метод решения. Для решения задачи применен системный подход. На сегодняшний день методы решения подобного класса задач нам неизвестны, поэтому использован следующий подход. С помощью замены переменной уравнение Риккати сводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка со случайным коэффициентом. Для полученного уравнения находится вспомогательное уравнение, содержащее обыкновенные и вариационные производные, из решения которого легко находится математическое ожидание решения этого уравнения. Методы решения дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными разработаны Задорожним В. Г. Поскольку аналитическое решение данной задачи получить невозможно, разработан численный метод решения уравнения с обыкновенной и вариационной производными, который является аналогом разностных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных, при этом наиболее принципиальным является метод аппроксимации вариационной производной на сетке. Параметрическая идентификация модели осуществлена по данным натурного эксперимента генетическим алгоритмом. Анализ результатов моделирования показал хорошее соответствие между экспериментальными и расчетными значениями концентрации радикалов. Результаты моделирования представлены в графической форме. Предложенный метод реализован в виде прикладной программы на ЭВМ.