Применение многочленов баттерворта для построения модальных дифференциаторов

Аннотация

В статье рассматривается метод построения автоматических модальных дифференциаторов с помощью нормированных многочленов Баттерворта. Синтез модальных дифференциаторов сводится к построению следящей системы управления для объекта, представляющего собой последовательное соединение интегрирующих звеньев. Полюсы автоматических модальных дифференциаторов являются корнями многочленов Баттерворта. Полином Баттерворта представляет собой знаменатель фильтра Баттерворта. Корни многочлена Баттерворта расположены на круге некоторого радиуса равноудалённо друг от друга в левой полуплоскости комплексной плоскости. Радиус круга определяется частотой среза фильтра Баттерворта. Построенные модальные дифференциаторы осуществляют асимптотически точное помехозащищенное дифференцирование сигналов из достаточно широкого класса. Класс дифференцируемых сигналов определяется некоторым дифференциальным неравенством и содержит множество непрерывно-дифференцируемых функций с ограниченной старшей производной. Класс дифференцируемых сигналов включает логарифмические, экспоненциальные и тригонометрические функции, алгебраические многочлены. Следует отметить, что вышеперечисленными функциями класс дифференцируемых сигналов не исчерпывается. Модальные дифференциаторы являются помехозащищенными по отношению к высокочастотным помехам. Полоса пропускания сигналов может быть задана за счёт выбора соответствующей частоты среза фильтра Баттерворта. В статье проводится сравнительный анализ модальных дифференциаторов, построенных с помощью многочленов Баттерворта и дифференциаторов, полюсы которых образуют геометрическую последовательность. Для анализа дифференциаторов используются амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики. Приводится пример построения дифференциатора первого порядка. Во временной области рассматривается результат дифференцирования низкочастотного гармонического сигнала. Предлагаемые в статье дифференциаторы могут быть использованы для синтеза высококачественных систем автоматического управления, а также для решения широкого круга задач, связанных с автоматическим дифференцированием.