Вычислительные аспекты моделирования аномалий силы тяжести системой точечных масс
Аннотация
Bведение: Рассматривается аппроксимация гравитационных аномалий Буге системой эквивалентных источников при региональных геофизических исследованиях. Значения поля заданы в узлах регулярной сети точек на поверхности шарообразной Земли – сферы Каврайского. Каждому узлу соответствуют 4 параметра: широта, долгота, геодезическая высота и первая радиальная производная гравитационного потенциала. Под всеми узлами сети располагаются точечные массы. Значения масс определяются путем приближенного решения системы линейных алгебраических уравнений. Методика: Исходными материалами являлись две глобальные модели гравитационного поля в редукции Буге WGM2012 и рельефа земной поверхности ETOPO1 в системе геодезических параметров WGS84 для Курильской островной дуги и прилегающих акваторий. Разрешение моделей составляло 1° и 20. Район исследований ограничен координатами 40°–54°с.ш., 142°– 162°в.д., его площадь составляет около 2.4 млн км2 . Выполнялись оценки обусловленности матриц коэффициентов систем уравнений при разных глубинах размещения эквивалентных источников. При расчете чисел обусловленности использовались метод Шульца второго порядка и новый разработанный авторами метод, не требующий вычисления обратной матрицы в явном виде. Последний базируется на подходе Хагера к оценке норм обратной матрицы на основе имеющихся коэффициентов системы. Он предназначен для работы с данными большой размерности. Продемонстрирована близость чисел обусловленности, вычисленных двумя разными методами для матриц размером 314×314 и 2623×2623, соответственно. Выполнялось сопоставление скорости вычислений при разных глубинах размещения точечных масс. Также проводилась экспериментальная оценка влияния ошибок округления и помех в исходных данных на вектор решения системы. Результаты и обсуждение: Представлены количественные оценки норм матриц коэффициентов и чисел обусловленности различных аппроксимационных конструкций. Отмечается резкое увеличение чисел обусловленности при погружении источников на глубину, превышающую шаг сети задания поля по широте. Это сопровождается снижением скорости итерационного метода Зейделя при решении систем уравнений. Выявлена высокая устойчивость численного решения систем уравнений, предположительно обусловленная саморегуляризацией. Поэтому при моделировании региональных аномалий силы тяжести дополнительные методы регуляризации могут не использоваться. Рекомендовано в условиях низких и средних широт при формировании аппроксимационной конструкции соблюдать приближенное равенство между шагом сети по меридиану и глубинами точечных масс. Заключение: Исследованы специфические особенности решения систем уравнений, возникающих при истокообразной аппроксимации аномалий силы тяжести на сфере Каврайского. Полученные результаты позволят повысить точность и скорость расчета трансформант аномального гравитационного поля больших территорий.
Скачивания
Литература
2. Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobel'kov G. M. Chislennyye metody [Numerical methods]. Moscow,Naukapubl., 2000, 622 p.(In Russ.)
3. Balk P. I., Dolgal' A. S., Pugin A. V., Michurin A.V., Simanov A. A., Sharhimullin A. A. Jeffektivnye algoritmy istokoobraznoj approksimacii geopotencial'nyh polej [Effective algorithms of source-like approximation of geopotential fields].FizikaZemli ‒ Physics of the Earth, 2016, no. 6, pp. 112‒ 128. DOI
4. Dolgal' A. S., Pugin A.V., Novikova P. N. Istorija metoda istokoobraznyh approksimacij geopotencial'nyh polej [History of the method for sourcewise approximations of geopotential fields]. Fizika Zemli ‒ Physics of the Earth, 2022, vol. 58, no. 2, pp. 149‒171. DOI
5. Dolgal A.S., Pugin A.V. Nekotoryye vychislitel'nyye aspekty approksimatsii geopotentsial'nykh poley [Some computational aspects of approximation of geopotential fields]. Teoriya i praktika razvedochnoy i promyslovoy geofiziki: sb. nauch. trudov [Theory and practice of exploration and production geophysics: collected scientific papers], vol. 3, I. 8, Perm: Perm State National Research Universitypubl., 2020, pp. 92‒98 (In Russ.)
6. Dolgal A.S. Otsenka vliyaniya formy poverkhnosti izmereniy v metode istokoobraznoy approksimatsii geopotentsial'nykh poley [Evaluation of the shape influence of the measurement surface in the sourcelike approximation method of geopotential fields].Gornoyeekho‒ Mountain echo, 2020, no. 2(79), pp. 49‒ 57 DOI
7. Raevskij D. N., Stepanova I. Je. Modificirovannyj metod Sapproksimacij. Regional'nyj variant [Modified method of Sapproximations. Regional version]. Fizika Zemli ‒ Physics of the Earth,2015, no. 2, pp. 44–54. DOI
8. Dolgal A. S., Kostitsyn V. I., Novikova P. N. Approksimatsiya anomaliy sily tyazhesti pri regional'nykh issledovaniyakh s uchetom sharoobraznoy formy Zemli [Approximation of gravity anomalies in regional studies taking into account the spherical shape of the Earth]. Geofizika‒ Geophysics, 2021, no. 5, pp. 36– 43 (In Russ.)
9. Dolgal A. S., 2, Kostitsyn V. I., Pugin A. V., Khokhlova V. V. Vybor modeli Zemli dlya transformatsii anomaliy sily tyazhesti v protsesse regional'nykh issledovaniy [Choice of the Earth model for the transformation of gravity anomalies in the process of regional studies].Geofizika‒ Geophysics, 2022, no. 5, pp. 6–12 (In Russ.)
10. Mints M. V., Glaznev V. N., Muravina O. M. Glubinnoye stroyeniye kory yugo-vostoka Voronezhskogo kristallicheskogo massiva po geofizicheskim dannym: geodinamicheskaya evolyutsiya v paleoproterozoye i sovremennoye sostoyaniye kory [Deep structure of the crust of the southeast of the Voronezh crystalline massif according to geophysical data: geodynamic evolution in the Paleoproterozoic and the current state of the crust].Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Geologiya ‒ Proceedings of the Voronezh State University. Series: Geology, 2017, no. 4, pp. 5‒23 (In Russ.)
11. Glaznev V. N., Yakuba I. A. The gravitational effect of the sedimentary cover located in the Republic of Niger. Proceedings of Voronezh State University. Series: Geology, 2021, no.2, pp. 71‒82 DOI
12. Belkin A.M., Mironov N. F., Rublev Yu. I., Saraisky Yu. N. Vozdushnaya navigatsiya: spravochnik [Air navigation: a guide]. Moscow, Transport publ., 1988, 303 p. (In Russ.)
13. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Chislennyye metody [Numerical methods]. Moscow, Naukapubl., 2000, 622 p. (In Russ.)
14. Fadeev D. K. Ob obuslovlennosti matrits [On the conditionality of matrices].Trudy MIAN SSSR ‒ Proceedings of the USSR Institute of Mathematics, 1959, vol. 53.pp. 387–391 (In Russ.)
15. Tsei R., Shumafov M. M. Chislo obuslovlennosti matritsy kak pokazatel' ustoychivosti pri reshenii prikladnykh zadach [The Matrix Condition Number as an Indicator of Stability in Solving Applied Problems]. Trudy FORA ‒ Proceedings of FORA, 2011, no. 16.pp. 61‒67 (In Russ.)
16. Matematicheskiy forum Math Help Planet [Math Help Planet Mathematical Forum] Available at: URL
17. Balmino G., Vales N., Bonvalot S., et al. Spherical harmonic modelling to ultra-high degree of Bouguer and isostatic anomalies.Journal of Geodesy, 2012, vol. 86, pp. 499–520.
18. Bonvalot S., Balmino G., Briais A., et al. Commission for the Geological Map of the World. Eds. BGI-CGMW-CNESIRD. Paris, 2012.
19. Amante C., Eakins B.W. ETOPO1 1 Arc-Minute Global Relief Model: Procedures, Data Sources and Analysis. NOAA Technical Memorandum NESDIS NGDC-24, 2009.
20. Vychislitel'naya matematika i tekhnika v razvedochnoy geofizike: spravochnik geofizika [Computational Mathematics and Engineering in Exploration Geophysics: A Handbook of Geophysics]. Ed. V. M. Dmitriev. 2nd ed.. Moscow, Nedra publ., 1990, 498 p. (In Russ.)
21. Kahaner D., Moler K., Nash S. Chislennyye metody i programmnoye obespecheniye [Numerical methods and software].(translated from English) 2nd ed.. Moscow, Mirpubl., 2001, 575 p. (In Russ.)
22. Forsythe D., Moler K. Chislennoye resheniye system lineynykh algebraicheskikh uravneniy [Numerical solution of systems of linear algebraic equations (translated from English)]. Moscow, Mirpubl., 1969, 166 p. (In Russ.)
23. Hager W.W. Condition estimates. SIAM Journal on scientific and statistical computing, 1984, vol. 5, no. 2, pp. 311‒316.
24. Higham N.J. FORTRAN codes for estimating the onenorm of a real or complex matrix, with applications to condition esti mation.ACM Transactions on Mathematical Software, 1988, vol. 14, no. 4, pp. 381‒396.
25. Higham N. J., Tisseur F. A block algorithm for matrix 1- norm estimation, with an application to 1-norm pseudospectra. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 2000, vol. 21, no. 4, pp. 1185‒1201.
26. Rogalev A. N., Doronin S. V. Ispol'zovaniye kriteriyev obuslovlennosti pri chislennykh raschetakh napryazhennogo sostoyaniya silovykh konstruktsiy [The use of conditionality criteria in numerical calculations of the stress state of power structures].Sistemy. Metody. Tekhnologii‒Sistemy. Methods. Technologies, 2016, no. 2(30), pp. 91‒99 (In Russ.)
27. Makarova I. D. Otsenka pogreshnosti resheniya sistemy lineynykh algebraicheskikh uravneniy: dva podkhoda [Evaluation of the error in solving a system of linear algebraic equations: two approaches].Aktual'nyye problem prepodavaniya matematiki v tekhnicheskom vuze‒ Actual problems of teaching mathematics in a technical university, 2015, no. 3, pp. 112‒119 (In Russ.)
28. Bolovin E. V., Glazyrin A. S. Sposoby povysheniya obuslovlennosti matrits pri reshenii sistem raznostnykh uravneniy v zadachakh identifikatsii parametrov dinamicheskikh ob"yektov [Methods for increasing the conditionality of matrices in solving systems of difference equations in problems of identifying the parameters of dynamic objects]. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta ‒ Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2013, vol. 322, no. 2, pp. 51‒55 (In Russ.)
29. Starostenko V. I. Ustoychivyye chislennyye metody v zadachakh gravimetrii [Stable numerical methods in gravimetry problems]. Kyiv, Naukovadumkapubl., 1978, 228 p. (In Russ.)
30. Dolgal A. S., Pugin A. V. amoregulyarizatsiya v zadachakh istokoobraznoy approksimatsii anomaliy sily tyazhesti [SelfRegularization in Problems of Sourcelike Approximation of Gravity Anomalies]. Teoriya i praktika razvedochnoy i promyslovoy geofiziki [Theory and practice of exploration and production geophysics].Sb. nauch. trudov. ed. V. I. Kostitsyn, Perm: State National Research Universitypubl., 2022, I. 5 (10), pp. 64– 69 (In Russ.)
31. Vasin V. V. Osnovy teorii nekorrektnykh zadach [Fundamentals of the theory of ill-posed problems]. Novosibirsk, Publishing House of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciencespubl., 2020, 313 p. (In Russ.)
32. Gordin V. M., Mikhailov V. O., Mikhailov B. O. Fizicheskiye aspekty approksimatsii i fil'tratsii anomal'nykh poley [Physical aspects of approximation and filtering of anomalous fields].Izv. AN SSSR. Fizika Zemli ‒ Izv. Academy of Sciences of the USSR. Physics of the Earth, 1980, no. 1, pp. 78–93 (In Russ.)
