Стабилизация системы связанных обратных маятников вертикальным управлением

Михаил Евгеньевич Семенов; Олеся Ивановна Канищева; Михаил Александрович Попов

doi:10.17308/sait.2020.1/2587

Михаил Евгеньевич Семенов Федеральный исследовательский центр «Единая геофизическая служба Российской академии наук», Воронежский государственный университет, Воронежский государственный технический университет https://orcid.org/0000-0002-3361-1102
Олеся Ивановна Канищева Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина» https://orcid.org/0000-0002-1830-4091
Михаил Александрович Попов Воронежский государственный технический университет https://orcid.org/0000-0003-4336-8190

DOI: https://doi.org/10.17308/sait.2020.1/2587

Ключевые слова: обратный маятник, связанные осцилляторы, стабилизация, управление, зоны устойчивости

Аннотация

При решении ряда практически важных задач (колебания поддерживающих контуров в строительстве, проблема стабилизации плазмы, стабилизация синтезированных биологических цепочек и т. п.) модели систем основываются на законах движения простейших связанных осцилляторов и их цепочек. В данной статье рассматривается математическая модель системы, состоящей из двух обратных маятников с упругой связью, представленной пружиной. Система управляется посредством применения управляющего воздействия, представляющего собой вертикальные осцилляции точки крепления одного из маятников. Проведено детальное исследование динамики указанной механической системы, сформулированы условия, обеспечивающие ее стабилизацию. Построены зоны устойчивости в пространстве исходных параметров. Представлена эволюция зон устойчивости в зависимости от значений жёсткости пружины. Построены спектры решений, показывающие, что движения системы соответствуют почти периодическим функциям. Установлено наличие неустойчивых периодических режимов на границах зон устойчивости. Определены плоскости, соответствующие начальным условиям, отвечающим найденным периодическим решениям. Основные аналитические результаты получены с использованием матрицы монодромии. В рассматриваемом в работе случае, когда система в линейном приближении является кусочно-линейной, эта матрица может быть представлена в явной форме. В работе также приведены результаты численных экспериментов, иллюстрирующих динамику системы. Также показано, что с изменением естественных параметров системы геометрия зон устойчивости претерпевает изменения, соответствующие увеличению площади одной из зон. Все рисунки, иллюстрирующие зоны устойчивости, эволюцию зон устойчивости, спектры решений, графики движения маятников, фазовые портреты подготовлены с использованием системы математических расчётов Wolfram Mathematica.

Скачивания

Данные скачивания пока не доступны.

Биографии авторов

Михаил Евгеньевич Семенов, Федеральный исследовательский центр «Единая геофизическая служба Российской академии наук», Воронежский государственный университет, Воронежский государственный технический университет

д. ф.-м. н., профессор, ведущий научный сотрудник Федерального исследовательского центра «Единая геофизическая служба Российской академии наук»; профессор кафедры цифровых технологий, Воронежский Государственный Университет

Олеся Ивановна Канищева, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина»

к. ф.-м. н., доцент кафедры математики Военного учебно-научного центра Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина»

Михаил Александрович Попов, Воронежский государственный технический университет

аспирант кафедры прикладной математики и механики, Воронежский государственный технический университет

Литература

1. Andronov A. A. Witt A. A. Khaikin S. E. Theory of oscillations. Moscow, Nauka. 1981. 568 p. (in Russian).
2. Bautin N. N. On the number of limit cycles appearing when the coefficients change from an equilibrium state of the focus or center type. Matematicheskii sbornik, 1952. 30 (72). 181–196. (in Russian).
3. Trubetskov D. I., Rozhnev A. G. Linear oscillations and waves. Moscow, Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 2001. 416 p. (in Russian).
4. Magnus K. Oscillations: Introduction to research of oscillatory systems. Translation from German. Moscow, Mir, 1982. 304 p. (in Russian)
5. Osipov G. V. Synchronization in heterogeneous networks of oscillators. Nizhny Novgorod, 2014. 135 p. (in Russian).
6. Kolmogorov A. N. On the conservation of conditionally periodic motions for a small change in the Hamiltonian function, Doklady Akad. Nauk USSR, 1954. 98 (4). 527–530. (in Russian).
7. Butikov E. I. Stabilization of the inverted pendulum (60 years of Kapitza’s pendulum). Computer tools in education, 2010. 5. 39–51. (in Russian).
8. Stephenson A. «On an induced stability». Phil. Mag, 1908. 15(233).
9. Kapitsa P. L. A pendulum with a vibrating suspension. UFN, 1951. 44. 7–20. (in Russian).
10. Kapitsa P. L. Dynamic stability of a pendulum with an oscillating point of suspension. JETP, 1951. 21. 588–597. (in Russian).
11. Nelepin R. A. Research methods for nonlinear automatic control systems. Moscow, Nauka, 1979. 447 p. (in Russian).
12. Krasnoselsky M. A., Pokrovsky A. V. Systems with hysteresis. Moscow, Nauka. 1983. 271 p. (in Russian).
13. Pliss V. A. Nonlocal problems of the theory of oscillations. Moscow, Nauka, 1964. 367 p. (in Russian).
14. Merkin D. R. Introduction to the theory of stability of motion. Moscow, Nauka. 1987. 304 p. (in Russian).
15. Matveev M. G., Semenov M. E., Shevlyakova D. V., Kanishcheva O. I. Zone of Stability and Periodic Solutions of the Inverted Pendulum with Hysteretic Control. Mechatronics, Automation, Control, 2012. 11, 8–14. (in Russian).
16. Semenov M. E., Hatif Z., Reshetova O. O., Demchuk A. A., Meleshenko P. A. The model of the dynamics with the inverted pendulum hysteretic control. Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2016. 4. 165–177. (in Russian).
17. Semenov M. E., Matveev M. G., Lebedev G. N., Solovyev A. M. Stabilization of a Flexible Inverted Pendulum with the Hysteretic Properties. Mechatronics, Automation, Control, 2017. 8. 516–525 (in Russian). URL
18. Ryazhskih V. I., Semenov M. E., Rukavicin A. G., Kanishcheva O. I., Demchuk A. A., Meleshenko P. A. Stabilization of inverted pendulum on a two-wheeled vehicle, Bulletin of the South Ural State University Series “Mathematics. Mechanics. Physics” 2017. V. 9, No. 3. P. 41–50 (in Russian). URL
19. Semenov M. E., Solovyov A. M., Popov M. A. Stabilization of unstable objects: coupled oscillators. Trudy MAI, 2017. 93 (in Rus-sian).
20. Solovyov A. M., Semenov M. E., Meleshenko P. A., Reshetova O. O., Popov M. A., Kabulova E. G. Hysteretic nonlinearity and unbounded solutions in oscillating systems, Procedia Engineering, 2017, 201, 549 555. URL
21. Semenov M. E., Solovev A. M., Popov M. A., Meleshenko P. A. Coupled inverted pendulums: stabilization problem. Archive Of Applied Mechanics, 2018. 88. 517–524.
22. Semenov M. E., Popov M. A., Kanishcheva O. I. Nonlinear Related System of Inverted Pentulums Control. Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2018. 11(3). 280–290 (in Russian). URL
23. Neimark Yu. I., Kogan N. Ya., Savelyev V. P. Dynamic models of control theory. Moscow, Nauka, 1985. 400 p. (in Russian)
24. Krasnoselsky M. A. Nonlinear almost periodic oscillations. Moscow, Nauka, 1970. 304 p. (in Russian).
25. Miroshnik I. V. Theory of automatic control. Nonlinear and optimal systems. St. Petersburg, Piter, 2006. 272 p. (in Russian).