БЫСТРЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ С ВОЗМОЖНОСТЬЮ ИХ МНОГОКРАТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Аннотация
Доказаны теоремы о невозможности почленного дифференцирования клас сических рядов Фурье для разрывных функций, так как это действие приводит к расходя щимся рядам и о невозможности дифференцирования рядов Фурье в предельном случае при задании несогласованных граничных условий. Показана возможность применения метода быстрых разложений в сочетании с методом А. Н. Крылова при рассмотрении разрывных функций. Впервые рассматривается многократное дифференцирование бы стрых рядов Фурье разрывных функций. Для полученной непрерывной функции ряд Фурье функции быстро сходится на заданном отрезке, включая и его концевые точки, что является особенно ценным при рассмотрении инженерных задач. Предложенное бы строе разложение применимо к построению решения прикладных интегро-дифференци альных задач различного порядка с разрывами первого рода и более сложными разры вами. Дается постановка краевой интегро-дифференциальной задачи второго порядка, в которой определенный интеграл записан с переменным верхним пределом от неизвест ной функции. Решение этой задачи представляет разрывную функцию с быстро сходя щимся рядом Фурье и возможностью его дифференцирования заранее заданное число раз. Приведенный тестовый пример показал, что при использовании граничной функции четвертого порядка и даже одного члена ряда Фурье в быстром разложении максималь ная абсолютная погрешность в определении неизвестной функции не превышает 2.4·10–20. Решение подобных задач в аналитическом виде ранее не было известно.
Скачивания
Литература
Adcock B. Convergence Acceleration of Modified Fourier Series in One or More Dimensions / B. Adcock // Mathematics of Computation. – 2010. – 80. – P. 225–261. https://doi.org/10.1090/s0025-5718-2010-02393-2
Adcock B. A Stability Barrier for Reconstructions from Fourier Samples / B. Adcock, A. C. Hansen, A. Shadrin // SIAM Journal on Numerical Analysis. – 2014. – 52. – P. 125–139. https://doi.org/10.1137/130908221
Adcock B. Generalized Sampling and the Stable and Accurate Reconstruction of Piecewise Analytic Functions from Their Fourier Coefficients / B. Adcock, A. Hansen // Mathematics of Computation. – 2014. – 84. – P. 237–270. https://doi.org/10.1090/s0025-5718-2014-02860-3
Иншаков Ю. М. Исследование явления Гиббса для разрывных периодических сигналов / Ю. М. Иншаков// Известия вузов России. Радиоэлектроника. – 2012. – Вып. 4. – C. 17–23.
Gottlieb D. On the Gibbs Phenomenon V: Recovering exponential accuracy from collocation point values of a piecewise analytic function / D. Gottlieb, C.W. Shu // Numer. Math. – 1996. – Vol. 33. – P. 280–290.
Лиференко В. Оптимальные множители сходимости, обеспечивающие подавление эффекта Гиббса. Часть 1 / В. Лиференко, Ю. Сердюков // Компоненты и технологии. – 2009. – № 1. – C. 90–94.
Харди Г. Расходящиеся ряды / Г. Харди. – М. : Изд-во иностр. л-ры, 1951. – 504 с. 8. Собрание трудов академика А. Н. Крылов. Т. 3. Математика. Часть 1. – М., Л. : Изд-во академии наук СССР, 1949. – 501 с.
Lanczos C. Discourse on Fourier series / C. Lanczos. – Edinburgh–London: Oliver and Boyd, 1966. – 255 p.
Yun B. I. Improving Fourier Partial Sum Approximation for Discontinuous Functions Using a Weight Function / B.I. Yun // Abstract and Applied Analysis. – 2017. – Article 1364914. https://doi.org/10.1155/2017/1364914
Barkhudaryan A. Asymptotic Behavior of Eckhoff’s Method for Fourier Series Convergence Acceleration / A. Barkhudaryan, R. Barkhudaryan, A. Poghosyan //Analysis in Theory and Applications. – 2007. – 23. – pp. 228-242. https://doi.org/10.1007/s10496-007-0228-0
Nersesyan A. B. Quasi-Polynomials of Bernoulli Type and Acceleration of Convergence of Fourier Series Piecewise Smooth Functions / A. B. Nersesyan // Reports of NAS RA. – 2004. – 104. – P. 186–191.
Poghosyan A. On an Autocorrection Phenomenon of the Krylov-Gottlieb-Eckhoff Method / A. Poghosyan // IMA Journal of Numerical Analysis. – 2010. DOI: 10.1093/imanum/drp043
Nersessian A. Acceleration of Convergence of Fourier Series Using the Phenomenon of Over-Convergence / A. Nersessian // Armenian Journal of Mathematics. – 2022. – V. 14, No 14. – P. 1–31.
Nersessian A. Super-Fast Approximation Algorithms Using Classical Fourier Tools / A. Nersessian // Advances in Pure Mathematics. – 2024. – 14. – P. 596-618. https://doi.org/10.4236/apm.2024.147033
Нерсесян А. Ускоренная сходимость рядов Фурье / А. Нерсесян, А. Погосян, Р. Бархударян // Известия НАН Армении. Математика. – 2006. – Т. 41, № 2. – С. 43–56.
Adcock B. Univariate modified Fourier series and application to boundary value problems / B. Adcock // BIT Numerical Mathematics. – 2009. – 49. – P. 249–280.
Nersessian A. On an Over-Convergence Phenomenon for Fourier Series. Basic Approach / A. Nersessian //Armenian Journal of Mathematics. – 2022. – 10. – P. 1–22. https://doi.org/10.52737/18291163-2018.10.9-1-22
Nersessian A. A Correction to the Article “On an Over-Convergence Phenomenon for Fourier Series. Basic Approach” / A. Nersessian // Armenian Journal of Mathematics. – 2022. – 11. – P. 1–2. https://doi.org/10.52737/182911632019.11.2-1-2
Nersessian A. Fourier Tools Are Much More Powerful than Commonly Thought / A. Nersessian // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2019. – 40. – P. 1122–1131. https://doi.org/10.1134/s1995080219080195
Nersessian A. On Some Fast Implementations of Fourier Interpolation / A. Nersessian // Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. – 2021. – P. 463–477. https://doi.org/10.1007/978-3-030-77493-6_27
Nersessian A. Acceleration of Convergence of Fourier Series Using the Phenomenon of Over-Convergence. / A. Nersessian // Armenian Journal of Mathematics. – 2022. – 14. – P. 1–31. https://doi.org/10.52737/18291163-2022.14.141-31
Nersessian A. On the Phenomenon of Super-Convergence in Eigenfunctions Expansions / A. Nersessian // Reports of NAS RA. – 2022. – 122. – P. 255–264. https://doi.org/10.54503/03211339-2022.122.4-255
Чернышов А. Д. Метод быстрых разложений для решения нелинейных дифференциальных уравнений / А. Д. Чернышов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2014. – Т. 54, № 1. – С. 13–24. DOI: 10.7868/S0044466914010062
Чернышов А. Д. Решение нелинейного уравнения теплопроводности для криволинейной области с условиями Дирихле методом быстрых разложений / А. Д. Чернышов // Инженерно-физический журнал. – 2018. – Т. 91, № 2. – С. 456−468.
Чернышов А. Д. Решение двухфазной задачи Стефана с внутренним источником и задач теплопроводности методом быстрых разложений / А. Д. Чернышов // Инженерно-физический журнал. – 2021. – Т. 94, № 1. – С. 101–120.
Сравнение скорости сходимости быстрых разложений с разложениями в классический ряд Фурье / А. Д. Чернышов [и др.] // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. – 2019. – № 1. – С. 27–34. DOI:: https://doi.org/10.17308/sait.2019.1/1273.
Лешонков О. В. Метод быстрых разложений для вычисления определенных интегралов с переменным верхним пределом от сложных или неявно заданных функций / О. В. Лешонков, Е. А. Соболева, А. Д. Чернышов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2021. – Т. 61, № 6. – С. 926–935 DOI: 10.31857/S0044466921060065
Горяйнов В. В. Анализ погрешности быстрых рядов Фурье при их многократном дифференцировании для случая вычисления коэффициентов ряда поточечным методом / В. В. Горяйнов // Вестник Воронежского государственного технического университета. – 2011. – Т. 7, № 2. – С. 36–40.
Чернышов А. Д. Исследование погрешности быстрой тригонометрической интерполяции при решении задачи о напряжениях в брусе / А. Д. Чернышов, В. В. Горяйнов, М. И. Попов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. – 2023. – № 1. – С. 115–128. DOI: 10.31857/S0572329922100142
Бурлуцкая М. Ш. Классическое решение для смешанной задачи с инволюцией / М. Ш. Бурлуцкая, А. П. Хромов // Докл. РАН. – 2010. – Т. 435, № 2. – С. 151–154.
- Авторы сохраняют за собой авторские права и предоставляют журналу право первой публикации работы, которая по истечении 6 месяцев после публикации автоматически лицензируется на условиях Creative Commons Attribution License , которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным сохранением ссылок на авторов оригинальной работы и оригинальную публикацию в этом журнале.
- Авторы имеют право размещать их работу в сети Интернет (например в институтском хранилище или персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу (См. The Effect of Open Access).
