Оценка параметров дифференциальных уравнений по неточным наблюдениям

Аннотация

В данной работе решена задача оценки параметров системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по неточным наблюдениям на коротком временном интервале. Речь идет о системах дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной (о нормальных системах), у которых число параметров совпадает с числом уравнений, с заданными начальными условиями. По аналогии с линейным регрессионным анализом на рассматриваемом отрезке времени выбирается достаточно большое число наблюдений и оцениваются значения функций, стоящие в правых частях нормальной системы уравнений, и значения их производных в начальный момент времени. По аналогии с методом моментов по оценкам значений функций и ее производных определяются неизвестные параметры исходной системы дифференциальных уравнений. В работе исследуется свойства полученных оценок и при определенных условиях, накладываемых на шаг разбиения временного отрезка, доказывается их асимптотическая несмещенность и состоятельность при увеличении числа наблюдений. Для двух частных случаев были проведены вычислительные эксперименты и их результаты продемонстрированы в работе. Предложенный в работе алгоритм оценивания параметров системы обыкновенных дифференциальных уравнений по неточным детерминированным наблюдениям, в отличие от классических оптимизационных алгоритмов, позволяет оценить скорость сходимости полученных оценок к оцениваемым параметрам. А рассмотрение малого интервала временного наблюдения дает возможность построить процедуру планирования эксперимента. Наряду с системами обыкновенных дифференциальных уравнений предлагаемый алгоритм может быть применен и к системам уравнений в частных производных, что планируется реализовать авторами в дальнейшем.