Планирование эксперимента для оценки параметров дифференциальных уравнений по неточным наблюдениям

Аннотация

Ранее авторами работы был построен алгоритм оценки параметров системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по большому числу неточных наблюдений в окрестности выбранной точки (реперной точки). Однако развитие этой тематики требует выбора нескольких реперных точек для оценивания параметров системы дифференциальных уравнений и построения оценок для производных более высокого порядка. При этом число оцениваемых параметров может быть больше числа уравнений. В настоящей работе строится алгоритм оценивания второй и третьей производных. Он основан на построенной ранее оценке первой производной по неточным наблюдениям и конечно разностной формуле для производной первого порядка. Доказана состоятельность оценки второй производной при определенных условиях, накладываемых на выбор точек наблюдения. Построенный алгоритм был применен для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка, для систем дифференциальных уравнений первого порядка, для дифференциальных уравнений первого и второго порядка в частных производных. При решении этих задач выбирались реперные точки, в окрестности которых производились наблюдения по разным осям, и строились оценки параметров рассматриваемых уравнений на основе оценок их производных в выбранных точках. Проведены вычислительные эксперименты, показывающие качество построенных оценок. Наиболее сложным оказался выбор реперных точек при оценке элементов матрицы в системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Если реперные точки образуют арифметическую последовательность, то удалось построить матричное соотношение для оценки матрицы коэффициентов рассматриваемого уравнения, которое имеет единственное решение, что доказано на основе неравенства нулю определителя Вандермонда.