Алгоритмы аппроксимации функции по неточным наблюдениям

Аннотация

Настоящая работа посвящена аппроксимации функции тригонометрическим многочленом по ее неточным значениям в специальным образом выбранных точках. Для решения этой задачи использовались методы оценивания параметров дифференциальных уравнений по неточным наблюдениям в специальным образом выбранных точках, предложенные ранее авторами в своих работах. Рассмотрены два способа наблюдений и аппроксимации функции, заданной на отрезке. Первый способ заключается в проведении наблюдений в m точках равномерно распределенных на отрезке, где задана функция. Второй способ заключается в проведении большого числа наблюдений в малой окрестности m точек деления отрезка на конечное число равных частей. Для этих аппроксимаций построены верхние оценки среднеквадратичного отклонения функции от тригонометрических многочленов и оценена скорость их сходимости при m стремящихся к бесконечности. Показано, что эти оценки в обоих случаях имеют вид O(m–1/2). Однако число наблюдений и вычислительная сложность существенно различаются. Так в первом случае она равна O(m3/2), а во втором случае — O(m2 ). С другой стороны использование быстрого преобразования Фурье позволяет во втором случае существенно уменьшить вычислительную сложность. Таким образом, задача аппроксимации функции по неточным наблюдениям за их значениями в выделенных точках является многокритериальной и ее решение зависит от способа выбора точек наблюдения, т. е. от процедуры планирования эксперимента, основанной во втором случае на большом числе наблюдений в малых окрестностях точек деления отрезка на конечное число равных частей.