Стабилизация системы связанных обратных маятников вертикальным управлением

Аннотация

При решении ряда практически важных задач (колебания поддерживающих контуров в строительстве, проблема стабилизации плазмы, стабилизация синтезированных биологических цепочек и т. п.) модели систем основываются на законах движения простейших связанных осцилляторов и их цепочек. В данной статье рассматривается математическая модель системы, состоящей из двух обратных маятников с упругой связью, представленной пружиной. Система управляется посредством применения управляющего воздействия, представляющего собой вертикальные осцилляции точки крепления одного из маятников. Проведено детальное исследование динамики указанной механической системы, сформулированы условия, обеспечивающие ее стабилизацию. Построены зоны устойчивости в пространстве исходных параметров. Представлена эволюция зон устойчивости в зависимости от значений жёсткости пружины. Построены спектры решений, показывающие, что движения системы соответствуют почти периодическим функциям. Установлено наличие неустойчивых периодических режимов на границах зон устойчивости. Определены плоскости, соответствующие начальным условиям, отвечающим найденным периодическим решениям. Основные аналитические результаты получены с использованием матрицы монодромии. В рассматриваемом в работе случае, когда система в линейном приближении является кусочно-линейной, эта матрица может быть представлена в явной форме. В работе также приведены результаты численных экспериментов, иллюстрирующих динамику системы. Также показано, что с изменением естественных параметров системы геометрия зон устойчивости претерпевает изменения, соответствующие увеличению площади одной из зон. Все рисунки, иллюстрирующие зоны устойчивости, эволюцию зон устойчивости, спектры решений, графики движения маятников, фазовые портреты подготовлены с использованием системы математических расчётов Wolfram Mathematica.